Matematyka — egzamin ósmoklasisty 2023 (CKE) MATH
19 zadań · 25 pkt · egzamin #4
Zadanie 1
PRAWDA_FALSZ · 1 pktPoniżej przedstawiono składniki potrzebne do przygotowania ciasta na 8 gofrów.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Do przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 10 jajek.
Do przygotowania ciasta na 72 gofry, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 12 szklanek mleka.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Do przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 10 jajek.
Do przygotowania ciasta na 72 gofry, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 12 szklanek mleka.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:P
Zadanie 2
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktDostęp do pliku jest chroniony hasłem ** T ** złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{15}$ i $\frac{1}{25}$.
Jakie jest hasło do pliku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jakie jest hasło do pliku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. 24T45
- B. 24T75
- C. 64T45
- D. 64T75
Klucz: D
Zadanie 3
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktDane są cztery wyrażenia:
$G = 2x^2 + 2$ $H = 2x^2 + 2x$ $J = 2x^2 - 2$ $K = 2x^2 - 2x$
Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 dla $x = 1$ oraz dla $x = -1$.
Które to wyrażenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
$G = 2x^2 + 2$ $H = 2x^2 + 2x$ $J = 2x^2 - 2$ $K = 2x^2 - 2x$
Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 dla $x = 1$ oraz dla $x = -1$.
Które to wyrażenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. G
- B. H
- C. J
- D. K
Klucz: C
Zadanie 4
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaMarta układała książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych. Wszystkie książki były jednakowych rozmiarów.
Pierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła 12 książkami.
Na drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby zostało nad nimi wolne miejsce, w sposób pokazany na rysunku.
Uwaga: na rysunku przedstawiono całkowite wypełnienie książkami pierwszej półki (I) oraz częściowe wypełnienie książkami drugiej półki (II).
Ile najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce (II) przy wskazanym sposobie ustawienia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła 12 książkami.
Na drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby zostało nad nimi wolne miejsce, w sposób pokazany na rysunku.
Uwaga: na rysunku przedstawiono całkowite wypełnienie książkami pierwszej półki (I) oraz częściowe wypełnienie książkami drugiej półki (II).
Ile najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce (II) przy wskazanym sposobie ustawienia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. 7
- B. 8
- C. 10
- D. 11
Klucz: B
Zadanie 5
NA_LACZENIE · 1 pktUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wyrażenie $\sqrt{81}-\sqrt{49}$ jest równe [A B].
Wyrażenie $\sqrt{144}+\sqrt{25}$ jest równe [C D].
Wyrażenie $\sqrt{81}-\sqrt{49}$ jest równe [A B].
Wyrażenie $\sqrt{144}+\sqrt{25}$ jest równe [C D].
- A. 2
- B. $\sqrt{32}$
- C. 13
- D. 17
Klucz: A->D
Zadanie 6
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktW sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o 40% większa od liczby jabłoni. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz.
Ile jabłoni rośnie w tym sadzie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile jabłoni rośnie w tym sadzie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. 20
- B. 30
- C. 70
- D. 125
Klucz: D
Zadanie 7
NA_LACZENIE · 1 pktUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Iloraz $\frac{10^8}{5^8}$ jest równy [A B].
Iloczyn $2^6 \cdot 25^3$ jest równy [C D].
Iloraz $\frac{10^8}{5^8}$ jest równy [A B].
Iloczyn $2^6 \cdot 25^3$ jest równy [C D].
- A. $5^8$
- B. $2^8$
- C. $50^9$
- D. $10^6$
Klucz: B->D
Zadanie 8
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktLiczbę $x$ powiększono o 7, a następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie.
Liczbę $y$ zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3.
Która para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczbę $y$ zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3.
Która para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. $4(x+7)$ oraz $5y+3$
- B. $4x+7$ oraz $5y+3$
- C. $4(x+7)$ oraz $5(y+3)$
- D. $4x+7$ oraz $5(y+3)$
Klucz: A
Zadanie 9
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktPewien ostrosłup ma 16 wierzchołków.
Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. 17
- B. 30
- C. 32
- D. 45
Klucz: B
Zadanie 10
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaNa planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa 8 cm.
Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4 000.
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4 000.
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
- A. 320 m
- B. 500 m
- C. 3 200 m
- D. 5 000 m
Klucz: A
Zadanie 11
PRAWDA_FALSZ · 1 pktZ urny, w której jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych, losujemy 1 kulę.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\frac{3}{5}$.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od $\frac{1}{3}$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\frac{3}{5}$.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od $\frac{1}{3}$.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:F
Zadanie 12
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaW prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $EC$ jest równa 6 cm, a długość odcinka $EF$ jest równa 10 cm.
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy
- A. 64 cm
- B. 56 cm
- C. 40 cm
- D. 28 cm
Klucz: B
Zadanie 13
PRAWDA_FALSZ · 1 pkt · geometriaAgata na dużej kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z 40 połączonych odcinków, które kolejno ponumerowała liczbami naturalnymi od 1 do 40.
Na rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków.
Kolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do narysowania odcinków 1–8.
Uwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Proste zawierające odcinki o numerach 1 oraz 7 są wzajemnie prostopadłe.
Proste zawierające odcinki o numerach 5 oraz 33 są wzajemnie równoległe.
Na rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków.
Kolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do narysowania odcinków 1–8.
Uwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Proste zawierające odcinki o numerach 1 oraz 7 są wzajemnie prostopadłe.
Proste zawierające odcinki o numerach 5 oraz 33 są wzajemnie równoległe.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:P
Zadanie 14
NA_LACZENIE · 1 pkt · geometriaNa rysunku przedstawiono trzy figury: kwadrat $F_1$, kwadrat $F_2$ i prostokąt $F_3$, oraz podano ich wymiary.
Czy z figur $F_1$, $F_2$, $F_3$ można ułożyć, bez rozcinania tych figur, kwadrat $K$ o polu 49 cm$^2$?
Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Czy z figur $F_1$, $F_2$, $F_3$ można ułożyć, bez rozcinania tych figur, kwadrat $K$ o polu 49 cm$^2$?
Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
- A. Tak,
- B. Nie,
- 1. suma obwodów figur $F_2$ i $F_3$ jest równa obwodowi kwadratu $K$.
- 2. suma pól figur $F_1$, $F_2$ i $F_3$ jest równa 49 cm$^2$.
- 3. suma długości dowolnych boków figur $F_1$, $F_2$ i $F_3$ nie jest równa 7 cm.
Klucz: B->3
Zadanie 15
PRAWDA_FALSZ · 1 pkt · geometriaW czworokącie $ABCD$ boki $AB$, $CD$ i $DA$ mają równe długości, a kąt $BCD$ ma miarę 131°.
Przekątna $AC$ dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Kąt $ABC$ ma miarę 60°.
Kąt $DAB$ ma miarę 98°.
Przekątna $AC$ dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Kąt $ABC$ ma miarę 60°.
Kąt $DAB$ ma miarę 98°.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:F, 2:P
Zadanie 16
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 2 pktCena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.
Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.
Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru wynosi **80 zł**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 2 pkt: Poprawny sposób obliczenia ceny jednego biletu do teatru (np. zapisanie odpowiednich równań lub wyrażeń arytmetycznych), prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy 80 zł; lub zastosowanie metody prób i błędów – sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej jednej ceny biletu do teatru z uwzględnieniem kwoty 80 zł, prawidłowe obliczenia oraz podanie prawidłowej ceny jednego biletu do teatru 80 zł.
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Np. zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny jednego biletu do teatru, np. 4x + 5(x − 64) = 400; lub poprawnego równania prowadzącego do obliczenia ceny jednego biletu do kina, np. 4(x + 64) + 5x = 400; lub poprawnych równań prowadzących do obliczenia ceny biletu do teatru i do kina, np. 4t + 5k = 400 oraz t = k + 64; lub poprawnego wyrażenia/wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia ceny jednego biletu do teatru, np. (400 + 5·64) : 9; lub ceny jednego biletu do kina, np. (400 − 4·64) : 9; lub zastosowanie niepełnej metody prób i błędów – sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych cen biletu do teatru bez uwzględnienia kwoty 80 zł oraz prawidłowe obliczenia; lub zapisanie kosztu zakupu biletów do kina (80 zł) oraz kosztu zakupu biletów do teatru (320 zł) przy ustalonej cenie jednego biletu do kina 16 zł i ustalonej cenie jednego biletu do teatru 80 zł.
0 pkt – rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.
Zadanie 17
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 2 pktPociąg przebył ze stałą prędkością drogę 700 metrów w czasie 50 sekund.
Przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie 15 sekund.
Oblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.
Przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie 15 sekund.
Oblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Długość pociągu wynosi **210 m**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 2 pkt: Poprawny sposób obliczenia długości pociągu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką długości, np. 210 m.
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Poprawny sposób obliczenia prędkości pociągu, czyli zastosowanie poprawnego związku między prędkością a drogą całkowitą i czasem, np. v = 700 m / 50 s (lub zapis równoważny), oraz poprawny sposób obliczenia drogi przebytej przez ten pociąg w czasie 15 s, np. s = (700 m / 50 s) · 15 s; lub poprawny sposób obliczenia długości pociągu, czyli zastosowanie poprawnego związku między drogami przebytymi w czasie 15 s oraz w czasie 50 s, z zastosowaniem własności wielkości wprost proporcjonalnych, np. x/15 = 700/50 (lub zapis równoważny).
0 pkt – rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Błąd w zamianie jednostek lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako błąd rachunkowy.
Zadanie 18
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 3 pkt · geometriaW czworokącie $ABCD$ o polu 48 cm$^2$ przekątna $AC$ ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ i $ACD$ (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta $ACD$ poprowadzona z wierzchołka $D$ do prostej $AC$ jest równa 2 cm.
Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z wierzchołka $B$ do prostej $AC$.
Zapisz obliczenia.
Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z wierzchołka $B$ do prostej $AC$.
Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Wysokość trójkąta **ABC** poprowadzona z wierzchołka **B** wynosi **10 cm**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 3 pkt: Poprawny sposób obliczenia wysokości trójkąta ABC, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy 10 cm.
- istotny postęp — 2 pkt: Np. zapisanie, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ACD i ABC oraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta ACD i wzoru na pole trójkąta ABC zgodnie z oznaczeniami i danymi, np. 48 = 1/2·8·2 + 1/2·8·h_B lub 48 = 8 + 4h_B; albo zapisanie, że pole trójkąta ABC jest równe różnicy pól czworokąta ABCD i trójkąta ACD oraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta ACD i wzoru na pole trójkąta ABC, np. P_ABC = 48 − 1/2·8·2 oraz P_ABC = 1/2·8·h_B lub 1/2·8·h_B = 48 − 1/2·8·2; albo zastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej podstawy AC trójkątów ABC i ACD i sumy wysokości h_B, h_D poprowadzonych z wierzchołków B i D tych trójkątów oraz zastosowanie poprawnego sposobu obliczenia wysokości trójkąta ABC, np. 48 = 1/2·
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Np. poprawny sposób obliczenia pola trójkąta ACD, np. P_ACD = 1/2·2·8; lub zastosowanie wzoru na pole trójkąta ABC z poprawnie podstawioną daną, np. P_ABC = 1/2·8·h_B; lub zastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej podstawy AC trójkątów ABC i ACD i sumy wysokości h_B, h_D poprowadzonych z wierzchołków B i D tych trójkątów, np. P_ABCD = 1/2·
0 pkt – rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Uwagi: jeżeli uczeń rozważa szczególny czworokąt, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym (tzn. długość przekątnej BD jest równa sumie długości wysokości h_B, h_D), i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie do końca bez błędów rachunkowych, otrzymuje 2 pkt. Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze np. linijką. Nie ocenia się stosowania jednostki.
Zadanie 19
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 3 pkt · geometriaZ pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Kształt i wybrane wymiary tej figury przedstawiono na rysunku.
Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.
Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Objętość prostopadłościennego klocka wynosi **225 cm³**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 3 pkt: Poprawny sposób obliczenia objętości prostopadłościennego klocka, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką objętości: 225 cm³.
- istotny postęp — 2 pkt: Poprawny sposób obliczenia długości dwóch krawędzi prostopadłościennego klocka oraz poprawny sposób obliczenia objętości, np. x + 20,5 = 23 oraz y = 20,5 − x oraz V = 5·x·y; albo x = 23 − 20,5 oraz y = 23 − 2x oraz V = 5·P_p oraz P_p = x·y; lub ustalenie prawidłowych długości dwóch krawędzi prostopadłościennego klocka (2,5 cm i 18 cm) bez zapisania poprawnego sposobu ich obliczenia oraz poprawny sposób obliczenia objętości, np. V = 5·2,5·18 albo V = 5·x·y, gdzie x = 2,5 oraz y = 18.
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Poprawny sposób obliczenia długości najkrótszej krawędzi prostopadłościennego klocka, np. 23 cm − 20,5 cm; lub zapisanie dwóch zależności między długościami dwóch krawędzi prostopadłościennego klocka wynikających z warunków zadania, np. x + y = 20,5 oraz x + x + y = 23; lub ustalenie prawidłowych długości krawędzi prostopadłościennego klocka (2,5 cm i 18 cm) bez zapisania sposobu ich obliczenia; lub zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia długości jednej krawędzi, np. 20,5 + x = 23; lub zapisanie poprawnego wzoru na objętość prostopadłościennego klocka oraz uwzględnienie związku między długościami krawędzi, np. V = 5·x·(20,5 − x) lub V = 5·x·y oraz y = 20,5 − x albo V = 5·x·y oraz y + 2x = 23.
0 pkt – rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Uwagi: jeżeli uczeń ustali nieprawidłowe długości dwóch krawędzi bez zapisania sposobu ich obliczenia, otrzymuje 0 pkt; jeżeli ustali nieprawidłową długość jednej krawędzi bez sposobu jej obliczenia, a drugą konsekwentnie obliczy z zależności, może otrzymać 1 pkt. Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze np. linijką. Poprawność stosowania jednostek ocenia się tylko w wyniku końcowym. Zapisanie niewłaściwej jednostki objętości lub brak jednostki objętości w wyniku końcowym traktuje się jako błąd rachunkowy.