Matematyka — egzamin ósmoklasisty 2024 (CKE) MATH
19 zadań · 25 pkt · egzamin #2
Zadanie 1
PRAWDA_FALSZ · 1 pktAla codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ala przez cztery dni – od poniedziałku do czwartku – na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie 2 godziny i 10 minut.
Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o 40% czasu mniej niż w piątek.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ala przez cztery dni – od poniedziałku do czwartku – na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie 2 godziny i 10 minut.
Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o 40% czasu mniej niż w piątek.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:P
Zadanie 2
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktWypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy 4
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest
• mianownik każdego z nich jest równy 4
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest
- A. sześć.
- B. siedem.
- C. osiem.
- D. dziewięć.
Klucz: B
Zadanie 3
PRAWDA_FALSZ · 1 pktŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 12, 14, \(k\), jest równa 16.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Liczba \(k\) jest równa 22.
Średnia arytmetyczna liczb: 12, 14, \(k\), 11, 17, jest większa od 16.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Liczba \(k\) jest równa 22.
Średnia arytmetyczna liczb: 12, 14, \(k\), 11, 17, jest większa od 16.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:F
Zadanie 4
NA_LACZENIE · 1 pktDane są dwie liczby \(x\) i \(y\) zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
\[
x=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)
\qquad\qquad
y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)
\]
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Liczba \(y\) jest liczbą [A B].
Liczba \(x\) jest [C D] od liczby \(y\).
\[
x=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)
\qquad\qquad
y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)
\]
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Liczba \(y\) jest liczbą [A B].
Liczba \(x\) jest [C D] od liczby \(y\).
- A. ujemną
- B. dodatnią
- C. mniejsza
- D. większa
Klucz: 1->A, 2->C
Zadanie 5
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaDany jest trapez \(ABCD\), w którym bok \(AB\) jest równoległy do boku \(DC\). W tym trapezie poprowadzono odcinek \(EC\) równoległy do boku \(AD\), podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt \(\alpha\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt \(\alpha\) ma miarę
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt \(\alpha\) ma miarę
- A. 55°
- B. 50°
- C. 45°
- D. 20°
Klucz: A
Zadanie 6
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktDane jest równanie
\[
5x=\frac{y}{w},\ \text{gdzie}\ x,y,w\ \text{są różne od}\ 0.
\]
Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć \(x\), \(y\), \(w\).
Paweł otrzymał trzy równania:
I. \(x=\frac{y}{5w}\)
II. \(y=\frac{5x}{w}\)
III. \(w=\frac{y}{5x}\)
Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania \(5x=\frac{y}{w}\)?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\[
5x=\frac{y}{w},\ \text{gdzie}\ x,y,w\ \text{są różne od}\ 0.
\]
Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć \(x\), \(y\), \(w\).
Paweł otrzymał trzy równania:
I. \(x=\frac{y}{5w}\)
II. \(y=\frac{5x}{w}\)
III. \(w=\frac{y}{5x}\)
Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania \(5x=\frac{y}{w}\)?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. I i II
- B. II i III
- C. I i III
- D. I, II, III
Klucz: C
Zadanie 7
PRAWDA_FALSZ · 1 pktOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Iloczyn \(3\cdot 9^5\) jest równy wartości wyrażenia \(3^{11}\).
Wyrażenie \(\frac{2^8\cdot 2^7}{2^{10}}\) można zapisać w postaci \(2^5\).
Iloczyn \(3\cdot 9^5\) jest równy wartości wyrażenia \(3^{11}\).
Wyrażenie \(\frac{2^8\cdot 2^7}{2^{10}}\) można zapisać w postaci \(2^5\).
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:P
Zadanie 8
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktKarolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.
Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
- A. \(\frac{1}{3}\)
- B. \(\frac{5}{16}\)
- C. \(\frac{4}{15}\)
- D. \(\frac{1}{4}\)
Klucz: C
Zadanie 9
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie \(x(x+4)-3(2x-5)\) można przekształcić równoważnie do postaci
Wyrażenie \(x(x+4)-3(2x-5)\) można przekształcić równoważnie do postaci
- A. \(x^2+2x-5\)
- B. \(x^2-2x+5\)
- C. \(x^2+2x-15\)
- D. \(x^2-2x+15\)
Klucz: D
Zadanie 10
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pktPodróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa \(2\) godziny i \(54\) minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie \(17\!:\!31\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie
- A. 14:27
- B. 14:41
- C. 14:31
- D. 14:33
Klucz: D
Zadanie 11
PRAWDA_FALSZ · 1 pkt · geometriaNa wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby.
Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie \(180\ \text{m}^2\) powierzchni.
Na pomalowanie \(125\ \text{m}^2\) powierzchni wystarczy \(12\) litrów tej farby.
Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie \(180\ \text{m}^2\) powierzchni.
Na pomalowanie \(125\ \text{m}^2\) powierzchni wystarczy \(12\) litrów tej farby.
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:F
Zadanie 12
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaW układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono pięć punktów \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) oraz \(P_5\) (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi.
Punkt \(P_1\) ma współrzędne \((-1,-2)\).
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jeżeli współrzędną \(x\) punktu \(P_1\) zwiększymy o \(4\), a współrzędną \(y\) tego punktu zwiększymy o \(3\), to otrzymamy współrzędne punktu
Punkt \(P_1\) ma współrzędne \((-1,-2)\).
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jeżeli współrzędną \(x\) punktu \(P_1\) zwiększymy o \(4\), a współrzędną \(y\) tego punktu zwiększymy o \(3\), to otrzymamy współrzędne punktu
- A. \(P_2\)
- B. \(P_3\)
- C. \(P_4\)
- D. \(P_5\)
Klucz: A
Zadanie 13
ZAMKNIETE_JEDNOKROTNE · 1 pkt · geometriaNa rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\) podzielony na sześć kwadratów.
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek długości boków \(a:b\) tego prostokąta jest równy
Dokończ zadanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek długości boków \(a:b\) tego prostokąta jest równy
- A. 6 : 5
- B. 5 : 4
- C. 4 : 3
- D. 3 : 2
Klucz: B
Zadanie 14
PRAWDA_FALSZ · 1 pkt · geometriaW trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątną \(AC\) wydłużono o \(7\) cm, a przyprostokątną \(AB\) wydłużono o \(12\) cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny \(ADE\) o polu równym \(200\ \text{cm}^2\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Przyprostokątna trójkąta \(ADE\) jest równa \(20\) cm.
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(52\ \text{cm}^2\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Przyprostokątna trójkąta \(ADE\) jest równa \(20\) cm.
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(52\ \text{cm}^2\).
- P. P
- F. F
Klucz: 1:P, 2:P
Zadanie 15
NA_LACZENIE · 1 pktDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe \(P\), a jedna ściana boczna ma pole równe \(\frac{2}{9}P\).
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe [A B].
Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy [C D] niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe [A B].
Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy [C D] niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.
- A. \(\frac{6}{9}P\)
- B. \(\frac{8}{9}P\)
- C. mniejsze
- D. większe
Klucz: 1->B, 2->C
Zadanie 16
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 2 pktEla i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów.
Ela ułożyła \(\frac{2}{5}\) swoich puzzli, a Ania \(\frac{1}{3}\) swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie \(440\) elementów.
Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.
Ela ułożyła \(\frac{2}{5}\) swoich puzzli, a Ania \(\frac{1}{3}\) swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie \(440\) elementów.
Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Jeden zestaw puzzli składa się z **600** elementów.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 2 pkt: Poprawny sposób obliczenia liczby elementów w jednym zestawie puzzli, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy 600; albo poprawna metoda prób i błędów ze sprawdzeniem warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych liczb (w tym dla 600) i wskazaniem 600; albo sprawdzenie wszystkich warunków tylko dla liczby 600 i wskazanie 600.
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby elementów w jednym zestawie puzzli, np. 2/5 x + 1/3 x = 440 lub zapis równoważny; albo poprawne wyrażenia arytmetyczne/proporcjonalne prowadzące do obliczenia liczby elementów; albo niepełna metoda prób i błędów zgodnie z kluczem.
0 pkt za rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Jeśli uczeń otrzyma 600 poprawną metodą, ale z rozwiązania nie wynika, że 600 to liczba elementów w jednym zestawie puzzli, przyznaje się 1 pkt. Jeśli w prezentowanych sposobach rozwiązania posługuje się przybliżeniami ułamków zwykłych, otrzymuje 0 pkt.
Zadanie 17
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 3 pkt · geometriaProstokąt \(ABCD\) podzielono na trzy trójkąty: \(AED\), \(ACE\), \(ABC\) (zobacz rysunek).
Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta \(AED\) oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta \(ACE\), o takiej samej mierze \(\alpha\).
Oblicz pole trapezu \(ABCE\). Zapisz obliczenia.
Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta \(AED\) oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta \(ACE\), o takiej samej mierze \(\alpha\).
Oblicz pole trapezu \(ABCE\). Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Pole trapezu **ABCE** jest równe **650 cm²**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 3 pkt: Poprawny sposób obliczenia pola trapezu ABCE, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką: 650 cm².
- istotny postęp — 2 pkt: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości odcinka AE oraz wskazanie równości AE i EC z własności trójkąta równoramiennego oraz poprawny sposób obliczenia długości AB; albo zapisanie, że AE = 25 cm i AB = 40 cm bez przedstawiania sposobów ich obliczenia; albo poprawne ujęcia wzoru na pole trapezu / pola pomocnicze wraz z jednym z kluczowych kroków zgodnie z kluczem.
- wstęp do rozwiązania — 1 pkt: Poprawny sposób obliczenia długości odcinka AE, np.
0 pkt za rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Brak jednostki lub niewłaściwa jednostka w wyniku końcowym traktowane są jako błąd rachunkowy. Jeżeli uczeń bez wyznaczenia AE przyjmie, że długości podstaw trapezu są równe 40 cm i 25 cm i konsekwentnie stosuje poprawny wzór na pole trapezu, bez błędów rachunkowych i z prawidłową jednostką, otrzymuje 1 pkt.
Zadanie 18
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 3 pktPan Jan sprzedał w swoim sklepie \(120\) kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, \(10\%\) masy truskawek – w średnich, a pozostałe truskawki w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży truskawek w sklepie pana Jana.
Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek.
Zapisz obliczenia.
Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek.
Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Pan Jan otrzymał ze sprzedaży truskawek **2472 zł**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 3 pkt: Zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia kwoty otrzymanej ze sprzedaży wszystkich truskawek, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy 2472 zł.
- istotny postęp — 2 pkt: Zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia kwot otrzymanych ze sprzedaży truskawek w co najmniej dwóch rodzajach opakowań; albo poprawne obliczenie liczb średnich i małych opakowań oraz kwoty dla co najmniej jednego rodzaju; albo poprawne wyznaczenie mas sprzedanych truskawek we wszystkich rodzajach opakowań i cen 1 kg w średnich i małych opakowaniach zgodnie z kluczem.
- wstęp do rozwiązania — 1 pkt: Zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia mas truskawek sprzedanych w co najmniej dwóch rodzajach opakowań; albo podanie mas: duże 60 kg, średnie 12 kg, małe 48 kg; albo zapisanie poprawnego wyrażenia dla kwoty z dużych opakowań; albo poprawne wyrażenia prowadzące do obliczenia liczby średnich albo małych opakowań; albo poprawne wyrażenia/ceny 1 kg dla średnich i małych opakowań.
0 pkt za rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Nie ocenia się stosowania jednostki. Jeżeli uczeń do wyznaczenia masy truskawek w małych (średnich) opakowaniach wykorzystuje błędnie obliczoną masę truskawek w średnich (małych) opakowaniach i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie do końca, to bez błędów rachunkowych otrzymuje 2 pkt, a z błędami rachunkowymi 1 pkt. Jeżeli poprawnie oblicza masy truskawek w średnich i małych opakowaniach, a do obliczenia kwot zamienia je ze sobą i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie do końca, to bez błędów rachunkowych otrzymuje 2 pkt, a z błędami rachunkowymi 1 pkt.
Zadanie 19
OTWARTE_MATEMATYCZNE · 2 pkt · geometriaZ trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).
Krawędź sześcianu ma długość \(10\) cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(9\) cm, a jego objętość jest równa \(324\ \text{cm}^3\).
Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.
Krawędź sześcianu ma długość \(10\) cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(9\) cm, a jego objętość jest równa \(324\ \text{cm}^3\).
Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.
Oczekiwana odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa **2 cm**.
Punktacja:
- pełne rozwiązanie — 2 pkt: Poprawny sposób obliczenia różnicy wysokości obu wież, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką: 2 cm.
- częściowe rozwiązanie — 1 pkt: Poprawny sposób obliczenia wysokości ostrosłupa, tzn. zapisanie równania z jedną niewiadomą lub wyrażeń arytmetycznych z wykorzystaniem wzoru na objętość ostrosłupa oraz z uwzględnieniem wszystkich danych liczbowych, np. 324 = 1/3 · 9 · 9 · H albo 324 : (1/3 · 9 · 9).
0 pkt za rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania. Nie ocenia się stosowania jednostki.